Grundlegende Mengenlehre

Original: http://www.efgh.com/math/algebra/sets.htm von Philip J. Erdelsky

1. Einführung

Die meisten, wenn nicht sogar alle, der reinen Mathematik liegen in der Sprache der Mengen. Sie werden feststellen, dass dieser Abschnitt viele Definitionen und nur wenige Theoreme enthält. Aber auch eine Definition kann viel mathematisches Wissen enthalten. Es dauerte Jahrhunderte, bis Mathematiker einige grundlegende Definitionen formulierten.

Ein Set ist eine Sammlung von Elementen, die als Ganzes betrachtet werden. Wenn es nur wenige Elemente gibt, kann das Set durch Auflistung in Klammern definiert werden. So könnte beispielsweise die Menge A wie folgt definiert sein:

A = {1,2,3}

Die Elemente in einer Menge werden als Elemente oder Elemente der Menge bezeichnet. Es wird auch gesagt, dass sie zum Set gehören oder im Set sind, und das Set soll sie enthalten. Das Symbol ∈ wird verwendet, um diese Beziehung auszudrücken — a∈ A bedeutet a gehört zu A, und a∉ A bedeutet a gehört nicht zu A.

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten. Das heißt, Satz A ist gleich Satz B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist, und jedes Element von B ist auch ein Element von A. Die Reihenfolge, in der die Elemente einer Menge in ihrer Definition aufgeführt sind, ist irrelevant. Zum Beispiel sind die Mengen {1,2,3} und {3,2,1} gleich.

Ein Element kann nicht mehr als einmal zu einer Menge gehören. Wenn also eine Menge durch Auflistung ihrer Elemente definiert wird, wird jedes Element nur einmal aufgelistet.

Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge bezeichnet und wird durch das Symbol ∅ dargestellt.

Wenn jedes Element der Menge A auch ein Element der Menge B ist, dann soll A eine Teilmenge von B sein, symbolisch dargestellt durch A⊆ B, oder B soll A beinhalten. Jede Menge ist eine Teilmenge von sich selbst, und die leere Menge ist eine Teilmenge von jeder Menge.

Wenn A⊆ B und es mindestens ein Element von B gibt, das kein Element von A ist, dann soll A eine richtige Teilmenge von B sein, symbolisch dargestellt durch A⊂ B.

Eine Teilmenge wird oft durch eine Eigenschaft ihrer Elemente definiert. Lassen Sie zum Beispiel A = {1,2,3,4,5,6} und B = {2,4,6}. Dann könnte B definiert werden als die Menge aller Elemente von A, die gerade sind, oder in Symbolen:

B ={x∈ A | x ist gerade}.

Hier bedeutet das Symbol | „so wie es ist“. Das Wort „alles“ wird verstanden. In einigen Fällen kann die Menge A auch verstanden werden.

Die Schnittmenge einer beliebigen Anzahl von Mengen ist die Menge der Elemente, die sie alle gemeinsam haben. Zum Beispiel ist der Schnittpunkt von {1,2,3,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} und {3,5,7,9} {3,5}. Es ist klar, dass der Schnittpunkt einer Sammlung von Mengen eine Teilmenge jeder Menge in der Sammlung ist. Der Schnittpunkt der beiden Mengen A und B wird symbolisch durch A∩B dargestellt.

Der Kreuzungsvorgang hat mehrere offensichtliche Eigenschaften:

• Kommutativität: A∩B = B∩A.
• Assoziativität: (B∩C)∩C = B∩C(A∩).
• A∩B = A wenn, und nur wenn, A⊆ B.

Die Vereinigung einer beliebigen Anzahl von Mengen ist die Menge aller ihrer Elemente. Zum Beispiel ist die Vereinigung von {1,2,3,3,4,5}, {2,3,4,5,6,7,8,9} und {3,5,7,9} {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Es ist klar, dass jede Menge in einer Union eine Teilmenge ihrer Union ist. Die Vereinigung der beiden Mengen A und B wird symbolisch durch A∪B dargestellt.

Die Gewerkschaftsoperation hat mehrere offensichtliche Eigenschaften:

• Kommutativität: A∪B = B∪A.
• Assoziativität: (∪C)∪C = B∪C(A∪B).
• A∪B = B wenn, und nur wenn, A⊆ B.

Zwei Mengen gelten als disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben; d.h. A und B sind disjunkt, wenn A∩B = ∅. Drei oder mehr Mengen gelten als disjunkt, wenn jeweils zwei von ihnen disjunkt sind.

Die Notation A-B wird verwendet, um die Menge aller Elemente von A anzuzeigen, die keine Elemente von B sind. Diese Operation hat keinen Standardnamen, aber wenn B eine Teilmenge von A ist, wird A-B manchmal als Ergänzung von B in A bezeichnet.

Die Beziehungen zwischen den Mengen werden oft bildlich durch ein Venn-Diagramm dargestellt, in dem Mengen als Innenräume von sich überlappenden Kreisen (oder anderen ebenen Figuren) dargestellt werden. Set-Kombinationen werden durch Bereiche dargestellt, die durch die Kreise begrenzt sind, wie im folgenden Beispiel für zwei Sets gezeigt:

2. Geordnete Paare

Ein geordnetes Paar ist ein Satz von zwei Elementen in einer bestimmten Reihenfolge. Ein geordnetes Paar wird normalerweise geschrieben (a,b), wobei a das erste Element und b das zweite Element ist. Zwei geordnete Paare (a,b) und (c,d) sind gleich, wenn a=c und b=d. Das Umkehren der Elemente eines geordneten Paares führt zu einem anderen geordneten Paar, wenn die Elemente nicht identisch sind. So ist beispielsweise das geordnete Paar (1,2) nicht gleich dem geordneten Paar (2,1).

Für zwei Sätze A und B ist das Kreuzprodukt A⨯ B die Menge aller geordneten Paare, deren erste und zweite Elemente Elemente von A bzw. B sind. Das heißt,

A⨯ B = {(a,b) ∣ a∈ a∈ A und b∈ B}

Geordnete Tripel, Vierlinge, etc. können definiert werden, werden aber selten benötigt.

3. Beziehungen

Eine Beziehung R auf einer Menge A ist einfach eine Menge geordneter Paare von Elementen von A, d.h. R ⊆ A⨯ A. Zwei Elemente a und b sollen der Beziehung gehorchen, wenn (a,b) in R liegt. Für die meisten Beziehungen wird jedoch die Mengennotation nicht verwendet. Stattdessen bedeutet ein Symbol wie ~ zwischen den Elementen, dass sie der Beziehung gehorchen; zum Beispiel a~b bedeutet, dass (a,b) in R ist.

Andere Symbole, die häufig für Beziehungen verwendet werden, sind

= > < ≥ ≤ ∣ ≠ ⊃ ⊂ ⊇ ⊆ ≡

Die meisten nützlichen Beziehungen haben einige zusätzliche Eigenschaften. Eine Beziehung ~ auf der Menge A ist eine Äquivalenz, wenn die folgenden Werte für jedes a, b und c in A gelten:

• Es ist reflexiv: a~a.
• Es ist symmetrisch: a~b impliziert, dass b~a.
• Es ist transitiv: a~b und b~c bedeuten, dass a~c.

Ein Satz nicht leerer Teilmengen eines Satzes A wird als Partition von A bezeichnet, wenn jedes Element von A zu einer und nur einer der Teilmengen gehört, d.h. wenn die Teilmengen disjunkt sind und ihre Vereinigung A ist. Der folgende Satz stellt eine Verbindung zwischen einer Äquivalenzbeziehung und einer Partition her.

Satz 3.1. Wenn ~ eine Äquivalenzbeziehung auf der Menge A ist, dann gibt es eine solche Partition der Menge A, dass a~b wenn, und nur wenn, a und b zu der gleichen Menge in der Partition gehören. Umgekehrt, wenn P eine Partition von A ist, dann ist „a und b gehören zur gleichen Menge in P“ eine Äquivalenzbeziehung.

Beweis. Betrachten Sie die Menge P der Teilmengen Ta = {x ∈ A | x~a}. Offensichtlich gehört jedes a in A zu mindestens einer Teilmenge in P, nämlich Ta. Daher sind die Mengen in P nicht leer und ihre Vereinigung ist A.

Nun sollen Ta und Tb zwei Teilmengen in P sein. Wenn sie ein Element c gemeinsam haben, dann c~a, c~b und x~b für jedes x ∈ Tb. Durch die Transitivität x~a und x ∈ Ta auch. Ähnliche Argumente zeigen, dass jedes Element von Ta auch ein Element von Tb ist. Daher sind Ta und Tb gleich. Wenn zwei Teilmengen in P kein gemeinsames Element haben, sind sie disjunkt. Somit ist P die gewünschte Partition.

Das Gegenteil ist trivial. ?

Die so mit einer Äquivalenzbeziehung verbundenen Mengen in der Partition werden als ihre Äquivalenzklassen bezeichnet. Sie werden oft verwendet, um mathematische Systeme zu definieren.

Äquivalenzrelationen auf zwei Mengen A und B können verwendet werden, um eine Äquivalenzrelation auf A⨯ B in der naheliegenden Weise zu definieren: (a,b) ist äquivalent zu (c,d), wenn a gleich c ist und b gleich d ist.

4. Bestellung

Eine Teilordnung auf einer Menge A ist eine Beziehung ≤ mit den folgenden Eigenschaften für jedes a, b und c in A:

• Es ist reflexiv: a ≤ a.
• Es ist antisymmetrisch: a ≤ b und b ≤ a bedeuten, dass a = b.
• Es ist transitiv: a ≤ b und b ≤ c bedeuten, dass ein ≤ c.

Eine Teilordnung ≤ auf der Menge A wird als lineare Ordnung (oder eine Gesamtordnung) bezeichnet, wenn für jeweils zwei Elemente a und b von A ein ≤ b oder b ≤ a (oder beide, wenn a = b).

Die Menge aller Teilmengen einer Menge ist teilweise nach Einschluss geordnet: S ≤ T bedeutet S⊆ T. Diese Teilordnung ist in der Regel keine Gesamtordnung, da wir zwei Teilmengen wie {1,2,3} und {2,3,4} finden können, so dass keine von beiden eine Teilmenge der anderen ist.

Die vertraute Beziehung ≤ in der Arithmetik ist eine totale Ordnung.

Bei der Arbeit mit einem Teil- oder Gesamtauftrag ist es üblich, einige zugehörige Beziehungen zu definieren:

• a ≥ b bedeutet b ≤ a,
• a < b bedeutet ein ≤ b und ein ≠ b,
• a > b bedeutet b ≤ a und b ≠ a.

Es gibt eine alternative Möglichkeit, Teil- und Gesamtaufträge zu definieren. Eine Beziehung < ist eine Teilordnung, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

• Es ist transitiv: a < b und b < c bedeuten, dass a < c.
• a < a ist immer falsch.

Eine Teilordnung ist eine Gesamtordnung, wenn sie auch trichotom ist: Für zwei beliebige Elemente a und b gilt eines der folgenden Elemente:

• a < b,
• a = b,
• b < a.

Die anderen Beziehungen werden dann in Form von < definiert:

• a ≤ b bedeutet a < b oder a = b.
• a ≥ b bedeutet b < a oder a = b.
• a > b bedeutet b b < a.

Es kann gezeigt werden, dass die beiden Möglichkeiten zur Definition von Teil- und Gesamtaufträgen gleichwertig sind.

Im Allgemeinen werden die Namen „Teilordnung“ und „Gesamtreihenfolge“ auf die gesamte Menge der Beziehungen ≤, <, > und ≥ angewendet, ohne anzugeben, welche die Auftragsbeziehung ist und welche ihr zugeordnet sind.

5. Funktionen

Eine Funktion f von der Menge A bis zur Menge B ist eine Regel, die bei jedem Element x von A genau ein entsprechendes Element von B erzeugt, dargestellt durch f(x). Dieses Konzept wird oft symbolisch als f:A⟶B ausgedrückt.

Eine Funktion wird auch als Mapping bezeichnet. Beide Namen werden in der Mathematik häufig verwendet, aber ab diesem Zeitpunkt werden wir die Namensfunktion verwenden.

Eine zweite und abstraktere Möglichkeit, eine Funktion f:A⟶B zu definieren, ist die Teilmenge von A ⨯ B, so dass es für jedes Element x von A ein und nur ein geordnetes Paar in der Teilmenge gibt, dessen erstes Element x ist. Das zweite Element des Paares wird dann als f(x) definiert.

Das Element f(x) wird unter der Funktion das Bild von x genannt. Die Funktion f soll auch das Element x auf das Element f(x) abbilden oder tragen.

Wenn f:A⟶B dann A die Domäne von f genannt wird, und die Menge aller Elemente von B, die Bilder von Elementen in A sind, den Bereich von f genannt wird. Die Mengen A und B müssen nicht unterschiedlich sein; in der Tat sind sie in vielen Anwendungen gleich.

Einige Funktionen haben spezielle Eigenschaften, die sie besonders interessant oder nützlich machen. Wenn f:A⟶B, dann

Wenn der Bereich gleich B ist, dann wird f als Surjektion, surjektive Funktion oder Funktion von A auf B bezeichnet. Die Funktion wird manchmal auch als „on“ bezeichnet, aber die Verwendung einer Präposition als Adjektiv klingt so gestelzt, dass gute Autoren dazu neigen, sie zu vermeiden.

Wenn der Bereich eine richtige Teilmenge von B ist, dann wird f als Funktion von A nach B bezeichnet.

Wenn das f höchstens ein Element seiner Domäne in jedes Element seines Bereichs trägt, d.h. wenn f(x) = f(y) impliziert, dass x = y, dann wird f eine Injektion, eine Injektionsfunktion oder eine Eins-zu-Eins-Funktion genannt.

Wenn f sowohl surjektiv als auch eins zu eins ist, dann wird es eine eins zu eins Korrespondenz von A und B genannt. Wenn f eins zu eins, aber nicht surjektiv ist, dann ist es eine eins zu eins Korrespondenz von A und seinem Bereich, der eine richtige Teilmenge von B ist.

Wenn f:A⟶B eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz ist, dann hat sie eine umgekehrte Funktion namens f -1:B⟶A definiert durch

f -1(x) = das Element w von A, so dass f(w) = x.

Natürlich ist auch das Gegenteil der Fall. Wenn eine Funktion eine Umkehrung hat, dann ist es eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz.

Zwei Funktionen f:A⟶B und g:A⟶B sind gleich, wenn f(x) = g(x) für jedes x in A.

Wenn der Bereich einer Funktion eine Teilmenge der Domäne einer anderen ist, dann wird eine zusammengesetzte Funktion definiert, indem die Funktionen nacheinander angewendet werden. Das heißt, wenn f:A⟶B und g:B⟶C, dann wird die zusammengesetzte Funktion (f◌g):A⟶C definiert durch

(f ◌g)(x) = g(f(x)) für jedes x in A.

Wenn die Funktionen über entsprechende Domänen und Bereiche verfügen, ist die Zusammensetzung assoziativ, d.h. (f ◌g) ◌h = f ◌(g ◌h).

Eine Eins-zu-Eins-Funktion f:A⟶B von zwei Mengen mit einer bestimmten Struktur wird als Isomorphismus bezeichnet, wenn sie die Struktur bewahrt. Wir haben ein Beispiel für ein Set mit Struktur gesehen: das teilweise geordnete Set. Wenn die Mengen A und B teilweise geordnet sind, dann ist f:A⟶B ein Isomorphismus, wenn er eins zu eins, surjektiv und f(x) < f(y) wenn und nur wenn, x < y ist.

Ein Isomorphismus einer strukturierten Menge mit sich selbst wird als Automorphismus bezeichnet. Offensichtlich ist die Identitätsfunktion (f(x) = x für alle x) ein Automorphismus einer strukturierten Menge. Ein gutes Beispiel für einen nicht-trivialen Automorphismus ist die Funktion, die eine komplexe Zahl in ihr Konjugat trägt (d.h. f(x+iy) = x-iy für alle realen x und y). Es ist eins-zu-eins, surjektiv und bewahrt die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen.

Angenommen, f:A⟶B und es gibt Äquivalenzbeziehungen auf den Mengen A und B. PA und PB seien die entsprechenden Mengen von Äquivalenzklassen von A und B. Wenn f äquivalente Elemente von A in äquivalente Elemente von B überträgt, d.h. wenn a ~ b impliziert, dass f(a) ~ f(b), dann gibt es eine einzigartige Funktion g:PA ⟶PB, die auf folgende Weise definiert ist. S sei eine Äquivalenzklasse in PA. Wählen Sie ein beliebiges Element a aus dieser Äquivalenzklasse und definieren Sie g(S) als die Äquivalenzklasse mit f(a). Es lässt sich leicht nachweisen, dass dies nicht von dem jeweiligen Element abhängt, das aus der PA ausgewählt wurde. Darüber hinaus erbt g viele der Eigenschaften von f; z.B. wenn f surjektiv ist, ist es auch g.

5. Betrieb

Eine unare Operation auf einer Menge ist eine Funktion, deren Domäne die Menge ist. Was eine unare Operation von einer gewöhnlichen Funktion unterscheidet, ist die verwendete Notation und oft ihre Beziehungen zu anderen Funktionen oder Operationen. Zum Beispiel ist die Funktion, die eine beliebige reelle Zahl x zur Zahl -x trägt, eine unare Operation namens Negation. Der Bereich der Funktion ist oft derselbe, aber dies ist nicht erforderlich.

Eine binäre Operation ist eine Funktion, deren Domäne das Kreuzprodukt aus zwei Mengen ist (oder das Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst). Zum Beispiel sind Addition und Multiplikation zwei binäre Operationen auf der Menge R⨯ R, wobei R die Menge der reellen Zahlen ist. Das Bild eines geordneten Paares (x,y) wird normalerweise als x+y für die Addition und xy für die Multiplikation geschrieben. Hier werden x und y als Operanden bezeichnet. Die ehemalige Notation wird normalerweise nur für die Addition verwendet, oder Operationen, die sehr ähnlich wie die Addition sind. Die letztgenannte Schreibweise wird für allgemeinere Operationen verwendet.

Unär- und Binäroperationen sind in der Mathematik sehr verbreitet; Operationen mit drei oder mehr Operanden sind selten, mit Ausnahme von Erweiterungen von Binäroperationen, wie unten erwähnt. Binäre Operationen auf einem einzelnen Satz sind häufiger als binäre Operationen auf Paaren von Mengen, aber beide werden häufig angetroffen.

Eine binäre Operation gilt als assoziativ, wenn sie auf drei Operanden ohne Rücksicht auf ihre Gruppierung angewendet werden kann, d.h. wenn sie

(xy)z = x(yz)
(x + y) + z = x + (y + z)

Wenn eine binäre Operation assoziativ ist, können wir das Ergebnis für drei Operanden ohne Klammern schreiben, was es zu einer klar definierten Operation mit drei Operanden macht:

xyz = (xy)z = x(yz)
x + y + z = (x + y) + z + z = x + (y + z)

Normale Addition und Multiplikation sind assoziativ, ebenso wie viele andere binäre Operationen. Die Zusammensetzung der Funktionen ist eine assoziative binäre Operation (vorausgesetzt, die Funktionen haben geeignete Domänen und Bereiche). Tatsächlich sind die meisten binären Operationen assoziativ.

Wenn eine binäre Operation assoziativ ist, ist es einfach, die Eigenschaft auf Operationen mit vier oder mehr Operanden zu erweitern:

wxyz = (wxy)z = (w(xy))z = w((xy)z) = w(xyz) = w(xyz).

Eine binäre Operation ist kommutativ, wenn die Reihenfolge der Operanden das Ergebnis nicht beeinflusst; d.h. wenn

xy = yx
x + y = y + y + x

Wenn eine kommutative Operation auch assoziativ ist, kann die Kommutativität leicht auf Operationen mit drei oder mehr Operanden erweitert werden:

xyz = (xy)z = (yx)z = yxz = yxz = y(xz) = (yx)z = yxz, etc.

Binäre Operationen, die kommutativ, aber nicht assoziativ sind, sind sehr selten. Binäre Operationen, die assoziativ, aber nicht kommutativ sind, sind recht häufig. Die Zusammensetzung der Funktionen ist ein Beispiel; ein Nachweis dieser Tatsache wird später erbracht.

Betrachten Sie nun eine binäre Operation auf A⨯ B mit ihrem Bereich in C (die nicht unterschiedlich sein muss). Angenommen, es gibt Äquivalenzoperationen für diese Mengen (die auch nicht unterschiedlich sein müssen), und die binäre Operation bewahrt die Äquivalenz, d.h. die Operation, wenn sie auf äquivalente Operanden angewendet wird, liefert gleichwertige Ergebnisse, oder a ~ b und c ~ d bedeuten, dass ac ~ bd. Dann, genau wie eine Funktion einer Variablen zu einer Funktion auf Äquivalenzklassen erweitert wurde, kann eine Operation auf zwei Variablen ähnlich erweitert werden. Wenn a und b Elemente der Äquivalenzklassen P und Q sind, dann ist PQ definiert als die Äquivalenzklasse mit ab. Die neue Operation erbt viele Eigenschaften der alten, einschließlich Assoziativität und Kommutativität.

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