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Ringe, integrierte Domänen und Felder

Original: http://www.efgh.com/math/algebra/rings.htm von Philip J. Erdelsky

1. Ringe

Ein Ring ist ein Satz R und zwei binäre Operationen, genannt Addition und Multiplikation, mit den folgenden Eigenschaften:

  • Der Ring ist eine kommutative Gruppe unter Zusatz.
  • Die Multiplikation ist assoziativ:

a(bc) = (ab)c

  • Die Multiplikation verteilt sich über die Addition:

a(b+c) = ab + ac
(a+b)c = ac + bc + bc

Die Eigenschaften der Multiplikation mit Null (der additiven Identität) und vorzeichenbehafteten Ringelementen sind die gleichen wie die für die ganzen Zahlen (die ein Ring sind), und die Beweise sind die gleichen, aber etwas komplizierter, da die Multiplikation nicht unbedingt kommutativ ist:

  • 0x = x0 = 0 = 0
  • (-x)y = x(-y) = -(xy) = -(xy)
  • (-x)(-y) = xy

Eine Ringisomorphose zwischen den Ringen R und S ist eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz f: R ⟶ S, das die Ringoperationen beibehält:

  • f(x+y) = f(x) + f(y) + f(y)
  • f(xy) = f(x) f(y)

Es gibt geringfügige Unterschiede in der Definition eines Rings; was wir vorgestellt haben, ist die Minimaldefinition. Einige Autoren verlangen, dass ein Ring eine Einheit hat, die ein Identitätselement für die Multiplikation ist, d.h. eine Zahl 1, so dass 1a = a1 = a für jedes Element a des Rings. Auch ist es oft erforderlich, dass 0 ≠ 1, weil ein Ring, in dem 0 = 1 ist ein trivialer Ring mit nur einem Element.

Ein Kommutativring ist ein Ring mit kommutativer Multiplikation.

Die ganzen Zahlen sind ein kommutativer Ring mit einer Einheit. Die geraden ganzen Zahlen sind ein kommutativer Ring ohne Einheit. Die Menge ZM, die zuvor als Ganzzahlen {0, 1, …., M-1} definiert wurde, wobei Addition und Multiplikation modulo M sind, ist ein Kommutativring mit einer Einheit. Wir werden später einige nicht kommutative Ringe sehen.

Ein linkes Ideal eines Rings ist eine nicht leere Teilmenge, die unter Subtraktion und linker Multiplikation mit einem beliebigen Ringelement geschlossen ist; d.h. wenn x und y im Idealfall sind und a ein beliebiges Ringelement ist, dann sind x-y und ax im Idealfall. Ebenso ist ein rechtes Ideal eines Ringes eine nicht leere Teilmenge, die unter Subtraktion und rechter Multiplikation mit einem beliebigen Ringelement geschlossen ist; d.h. wenn x und y im Idealzustand sind und a ein beliebiges Ringelement ist, dann sind x-y und xa im Idealzustand. Ein Ideal ist ein Set, das sowohl ein linkes Ideal als auch ein rechtes Ideal ist. Offensichtlich gibt es in einem Kommutativring keine Unterschiede zwischen den drei Arten von Idealen.

Obwohl ein Ideal nur unter Subtraktion geschlossen werden muss, ist es leicht zu zeigen, dass es auch unter Addition geschlossen ist. Wenn x und y im Ideal sind, dann ist 0 im Ideal, weil es gleich x-x ist, -y im Ideal, weil es gleich 0-y ist, und x+y im Ideal, weil es gleich x-(-y) ist.

Die Ringtheorie ist ein gut entwickelter Zweig der Mathematik, aber wir brauchen nur diese grundlegenden Konzepte. Wir werden uns hauptsächlich mit Ringen befassen, die zusätzliche Eigenschaften haben.

2. Integrale Domänen

Eine integrale Domäne ist ein kommutativer Ring mit Einheit (und 0 ≠ 1), in dem es keine Nullteiler gibt; d.h. xy = 0 bedeutet, dass x=0 oder y=0 (oder beides).

Die ganzen Zahlen sind eine integrale Domäne; dies ist der Grund für den Namen. Der Satz ZM, der zuvor als Ganzzahlen {0, 1, …., M-1} definiert wurde, wobei Addition und Multiplikation modulo M sind, ist eine integrale Domäne, wenn M Prime ist.

Da eine integrale Domäne eine Gruppe unter Addition ist, ist die Ordnung eines Elements ungleich Null a der kleinste positive Wert von n, falls vorhanden, so dass na = 0 (wobei na = a+a+a+a+a+…+a (n mal)). Jedes Element ungleich Null hat die gleiche Ordnung wie 1, da na = (n1)a = 0 nur wenn n1 = 0 ist.

Der Auftrag muss erstklassig sein. Wenn es als n = ab berücksichtigt werden könnte, dann wären 1+1+…+1 (a mal) und 1+1+…+1 (b mal) zwei Elemente ungleich Null, deren Produkt Null wäre.

Die Ordnung eines beliebigen Elements ungleich Null einer integralen Domäne wird oft als die Eigenschaft der integralen Domäne bezeichnet, insbesondere wenn die integrale Domäne auch ein Feld ist.

3. Felder

Eine integrale Domäne ist ein Feld, wenn jedes Element ungleich Null x einen Kehrwert x -1 hat, so dass xx -1 = x -1 = x -1x = 1. Beachten Sie, dass der Reziproke nur das Gegenteil unter Multiplikation ist; daher sind die ungleich Null Elemente eines Feldes eine kommutative Gruppe unter Multiplikation. Die reellen Zahlen sind ein vertrautes Feld, und der Ring Zp ist ein Feld, wenn p prime ist. Tatsächlich ist es ziemlich einfach zu beweisen, dass jede endliche integrale Domäne ein Feld ist.

Die Aufteilung in ein Feld wird wie gewohnt definiert:

x / y = x y -1,

wobei der Nenner y ungleich Null sein muss.

Aus dieser Definition und den Eigenschaften von Feldern lassen sich die üblichen Regeln für Operationen auf Brüchen ableiten:

a/b = c/d wenn, und nur wenn, ad = bc
a/b + c/d = (ad + bc) / (bd) / (bd)
(a/b) (c/d) = (ac) / (bd)
(a/b) -1 = b/a
(-b)/a = b/(-a)a = -(a/b)
0/a = 0
a/1 = a

Ein Teilfeld eines Feldes ist eine Teilmenge, die ein Feld mit den gleichen Additions- und Multiplikationsoperationen ist.

4. Felder der Quotienten und der rationalen Zahlen

Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Quotient aus zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden kann. Die ganzen Zahlen sind eine integrale Domäne, und die rationalen Zahlen sind ein Feld. Diese Art von Beziehung gilt allgemeiner. Jede integrale Domäne hat ein Bezugsfeld, das als Quotientenfeld bezeichnet wird, das das kleinste Feld ist, das eine Teilmenge enthält, die isomorph für die Domäne ist.

Die Beziehung zwischen den ganzen Zahlen und den rationalen Zahlen zeigt, wie ein Feld von Quotienten aufgebaut werden kann.

Lassen Sie D eine integrale Domäne sein. Zuerst definieren wir eine Beziehung auf D ⨯ (D – {0}) wie folgt:

(a,b) ~ (c,d) wenn ad = bc

(Beachten Sie, dass dies a/b = c/d frei von Brüchen ist.) Es ist leicht zu zeigen, dass es sich um eine Äquivalenzbeziehung handelt.

Wir definieren Addition und Multiplikation auf D ⨯ (D – {0}) wie folgt:

(a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd)
(a,b)(c,d) = (ac, bd)

Es kann gezeigt werden, dass die Addition äquivalenter Paare gleichwertige Ergebnisse liefert. Somit kann die Addition von zwei Äquivalenzklassen als die Klasse definiert werden, die die Summe aller Elemente der beiden Klassen enthält. Die Multiplikation von Äquivalenzklassen kann auf die gleiche Weise definiert werden.

Es kann gezeigt werden, dass der Satz von Äquivalenzklassen ein Feld unter diesen Definitionen von Addition und Multiplikation ist und dass die Klassen, die Paare der Form (a,1) enthalten, isomorph zu D sind.

Darüber hinaus ist dieses Feld das kleinste derartige Feld; jedes andere Feld, das eine Teilmenge isomorph zu D enthält, enthält auch ein Teilfeld isomorph zu dem Feld der Quotienten, wie es konstruiert ist. Der Isomorphismus ist ein Mapping, das jeden Quotienten a/b von zwei Elementen von D in die Äquivalenzklasse mit (a,b) trägt.

Das Feld der aus den ganzen Zahlen abgeleiteten rationalen Zahlen wird oft als Q geschrieben.

5. Geordnete integrale Domänen

Eine geordnete integrale Domäne ist eine integrale Domäne mit einer Teilmenge positiver Elemente mit den folgenden Eigenschaften:

  • Die Summe und das Produkt von zwei positiven Elementen sind positiv.
  • Null ist nicht positiv.
  • Für jedes Element ungleich Null ist a, entweder a oder -a, aber nicht beides, positiv.

Das Element a einer geordneten integralen Domäne gilt als negativ, wenn -a positiv ist.

Da entweder a oder -a positiv ist, wenn a ungleich Null ist, ist das Produkt aa, das gleich (-a)(-a) ist, in beiden Fällen positiv. Insbesondere ist die Einheit positiv.

Dies wird als Ordnung bezeichnet, da eine lineare Ordnung der integralen Domänen- oder Feldelemente durch die Definition von a < b erhalten werden kann, wenn b-a positiv ist.

Das Feld der Quotienten einer geordneten integralen Domäne wird geordnet, indem der Quotient von zwei beliebigen positiven Elementen der integralen Domäne als positiv definiert wird. Tatsächlich ist dies die einzige Möglichkeit, das Feld in einer Weise zu ordnen, die mit der Ordnung der integralen Domäne übereinstimmt.

Ein geordnetes Feld ist archimedisch, wenn jede Zahl kleiner als ein Vielfaches der Einheit ist. Das Feld der rationalen Zahlen ist archimedisch; später werden wir einige nicht-archimedische Felder sehen.

6. Das Feld der Realzahlen

Das Feld Q der rationalen Zahlen ist für viele Zwecke unzureichend. Es scheint voller Löcher zu sein. Es gibt zum Beispiel keine rationale Zahl, deren Quadrat genau 2 ist, was dargestellt werden kann, indem man zum Zwecke des Widerspruchs annimmt, dass m und n zwei ganze Zahlen sind, so dass (m/n) 2 = 2. Dies würde bedeuten, dass m 2 = 2n 2, was unmöglich ist, da der Primfaktor 2 im linken Glied eine gerade Anzahl von Malen und im rechten Glied eine ungerade Anzahl von Malen erscheinen würde. Daher ist jede rationale Zahl entweder kleiner als die Quadratwurzel von 2 oder größer als die Quadratwurzel von 2, aber nie gleich der Quadratwurzel von 2.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Löcher zu füllen. Eine davon sind Sequenzen und Grenzen, die eher zum Bereich der Analyse als zur Algebra gehören.

Eine Sequenz {x1, x2, x3, …} von rationalen Zahlen ist eine Cauchy-Sequenz, wenn für jedes positive e eine ganze Zahl n vorhanden ist, so dass ∣xi – xj∣ < e, wenn i>n und j>n.

Eine Cauchy-Sequenz von rationalen Zahlen hat nicht immer eine rationale Grenze. Zum Beispiel ist es ziemlich einfach, eine Cauchy-Sequenz von rationalen Zahlen zu konstruieren, die sich der Quadratwurzel von 2 nähert.

Zwei Cauchy-Sequenzen {x1, x2, x3, …} und {y1, y2, y3, …} sind äquivalent, wenn ihre Laufzeitdifferenz {x1 – y1, x2 – y2, x3 – y3, …} gleich Null ist. Es lässt sich leicht nachweisen, dass es sich tatsächlich um eine Äquivalenzbeziehung handelt.

Die Äquivalenzklassen sind die reellen Zahlen.

Wir definieren die Addition und Multiplikation von Cauchy-Sequenzen mit term-by-term Addition und Multiplikation:

  • {x1, x2, x3, …} + {y1, y2, y3, …} = {x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, …}.
  • {x1, x2, x3, …} {y1, y2, y3, …} = {x1 y1, x2 y2, x3 y3, y3, …}.

Es ist leicht nachzuweisen, dass äquivalente Sequenzen äquivalente Summen haben, und nur etwas schwieriger zu beweisen, dass äquivalente Sequenzen äquivalente Produkte haben. Daher ist die Addition und Multiplikation von Äquivalenzklassen klar definiert.

Das Ergebnis hat alle erforderlichen Feldeigenschaften, und Sequenzen mit rationalen Grenzen sind isomorph für Q.

Das Ergebnis ist auch ein geordnetes Feld, wobei eine positive Zahl eine Äquivalenzklasse ist, die eine Sequenz {x1, x2, x3, …} enthält, für die xi > e für alle i > n für einige positive e und einige ganze n. Es ist leicht zu erkennen, dass es archimedisch ist.

Die so definierten reellen Zahlen haben eine weitere wichtige Eigenschaft. Das Feld ist vollständig, was bedeutet, dass jede Cauchy-Sequenz von reellen Zahlen ein reales Limit hat.

Satz 6.1 Die reellen Zahlen, wie sie aus Cauchy-Sequenzen aufgebaut sind, sind vollständig.

Beweis. Lassen Sie {r1, r2, r3, r3, …} eine Cauchy-Sequenz von reellen Zahlen sein. Dann wird jeder Begriff ri durch eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Sequenzen rationaler Zahlen repräsentiert. Wählen Sie einen aus und finden Sie den ersten Begriff darin so, dass der Unterschied in den absoluten Werten der nachfolgenden Begriffe darin immer kleiner als 1/i sein wird. Die Äquivalenzklasse der Sequenz solcher ersten Begriffe ist die Grenze der ursprünglichen Sequenz reeller Zahlen. ?

Die Eigenschaft der Vollständigkeit kann auf andere Weise ausgedrückt werden. Eine obere Grenze für eine Menge von Zahlen ist nur eine Zahl größer oder gleich jedem Element der Menge.

Satz 6.2 Jeder nicht leere Satz von reellen Zahlen, der eine obere Grenze hat, hat eine minimale obere Grenze, d.h. eine obere Grenze, die kleiner ist als jede andere obere Grenze.

Beweis. Die Methode der Halbierung ist der einfachste Beweis. Wir konstruieren zwei Cauchy-Sequenzen {x1, x2, x3, …} und {y1, y2, y3, …} wie folgt.

Lasst x1 ein Element der Menge sein, und lasst y1 eine obere Grenze sein.

Im n-ten Schritt ist xn keine obere Grenze, und yn ist eine obere Grenze. Lassen Sie m = (xn + yn)/2. Wenn m dann keine obere Grenze ist, lassen Sie xn+1 = m und yn+1 = yn. Wenn m eine obere Grenze ist, lassen Sie xn+1 = xn und yn+1 = m.

Diese beiden Cauchy-Sequenzen haben eine gemeinsame Grenze, die die erforderliche kleinste obere Grenze ist.

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